01 背包
有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。
第 i 件物品的体积是 $v_i$，价值是 $w_i$。
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。
输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。
接下来有 N 行，每行两个整数 $v_i,w_i$，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。
输出格式
输出一个整数，表示最大价值。
数据范围
$0< N,V ≤ 1000$
$0< v_i,w_i ≤ 1000$
输入样例
输出样例：
思路+方法
f[i][j]表示面对第 i 件物品时，体积为 j 的背包的最大总价值。
两种选择：1. 不放入第 i 件物品。 2. 放入第 i 件物品。
状态转移方程：f[i][j]=max(f[i−1][j],f[i−1][j−w[i]]+v[i])
优化：f[j]=max(f[j],f[j−w[i]]+v[i])。此时 j 要从大到小遍历，保证第 i 件物品只能选择一次。否则 f[i][j] 会由 f[i][j−w[i]]+v[i]决定，与题意不符，而顺序遍历却是完全背包的解决方案。
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| import java.util.Scanner;
public class Main{
public static void main(String[] args) throws Exception{
Scanner reader = new Scanner(System.in);
int N = reader.nextInt();
int V = reader.nextInt();
int[] v = new int[N];
int[] w = new int[N];
for(int i=0; i<N; i++){
v[i] = reader.nextInt();
w[i] = reader.nextInt();
}
reader.close();
int[] dp = new int[V+1];
for(int i=0; i<N; i++){
for(int j=V; j>=v[i]; j--){
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j-v[i]]+w[i]);
}
}
System.out.println(dp[V]);
}
}
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时间复杂度 O(VN)
完全背包
完全背包题目与01背包大体相似，只不过每件物品可以无限选择。
思路 + 代码
状态转移方程：f[i][j]=max(f[i−1][j],f[i−1][j−w[i]]+v[i])。
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| import java.util.Scanner;
class Main{
public static void main(String[] args) throws Exception{
Scanner in = new Scanner(System.in);
int N = in.nextInt();
int V = in.nextInt();
int[] w = new int[N];
int[] v = new int[N];
for(int i=0; i<N; i++){
v[i] = in.nextInt();
w[i] = in.nextInt();
}
in.close();
int[] dp = new int[V+1];
for(int i=0; i<N; i++){
for(int j=v[i]; j<=V; j++){
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j-v[i]]+w[i]);
}
}
System.out.println(dp[V]);
}
}
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时间复杂度 O(VN)
多重背包
多重背包是每个物品指定了数量。
有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。
第 i 种物品最多有 $s_i$ 件，每件体积是 $v_i$，价值是 $w_i$。
求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。
输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。
接下来有 N 行，每行三个整数 $v_i,w_i,s_i$，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积、价值和数量。
输出格式
输出一个整数，表示最大价值。
数据范围
0<N,V≤100
$0<v_i,w_i,s_i≤100$
输入样例
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| 4 5
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2 4 1
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4 5 2
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输出样例：
思路 + 代码
将多重背包转化为 01背包问题，即将有限量的物品划分为互相独立的部分，每个独立的部分物品可以看作01背包问题，继续采用01背包的思想解决。
状态转移方程：f[i][j]=max(f[i−1][j],f[i−1][j−k*w[i]]+k*v[i])。
将第 i 种物品转化为 p[i]件物品，每件物品的系数分别为 $1，2, 4, …, 2^{k-1}, p[i]-2^k+1 > 0$, k是满足 $p[i]-2^k+1 > 0$ 的最大整数。
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| import java.util.Scanner;
class Main{
public static void main(String[] args) throws Exception{
Scanner sc = new Scanner(System.in);
int N = sc.nextInt();
int V = sc.nextInt();
int[] v = new int[N];
int[] w = new int[N];
int[] s = new int[N];
for(int i=0; i<N; i++){
v[i] = sc.nextInt();
w[i] = sc.nextInt();
s[i] = sc.nextInt();
}
sc.close();
int[]dp = new int[V+1];
for(int i=0; i<N; i++){
int num = Math.min(s[i], V/v[i]);
for(int k=1; num>0; k <<= 1){
if(k>num) k = num;
num -= k;
for(int j=V; j>=k*v[i]; j--){
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j-k*v[i]]+k*w[i]);
}
}
}
System.out.println(dp[V]);
}
}
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时间复杂度 O(V$\sum{log(p(i))}$)
混合背包
混合背包其实是 01背包、多重背包和完全背包的混合体。
有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。
物品一共有三类：
第一类物品只能用1次（01背包）；
第二类物品可以用无限次（完全背包）；
第三类物品最多只能用 $s_i$ 次（多重背包）；
每种体积是 $v_i$，价值是 $w_i$。
求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。
输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。
接下来有 N 行，每行三个整数 $v_i,w_i,s_i$，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积、价值和数量。
$s_i$=−1 表示第 i 种物品只能用1次；
$s_i$=0 表示第 i 种物品可以用无限次；
$s_i$>0 表示第 i 种物品可以使用 $s_i$ 次；
输出格式
输出一个整数，表示最大价值。
数据范围
$ 0<N,V≤1000 $
$ 0<v_i,w_i≤1000 $
$ −1≤s_i≤1000 $
输入样例
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| 4 5
1 2 -1
2 4 1
3 4 0
4 5 2
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输出样例：
思路 + 代码
加入if-else判断。
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for (int i = 1; i <= n; i++)
if (p[i] == 0)
for (int j = w[i]; j <= V; j++)
f[j] = max(f[j], f[j - w[i]] + v[i]);
else
for (int k = 1; k <= p[i]; k++)
for (int j = V; j >= w[i]; j--)
f[j] = max(f[j], f[j - w[i]] + v[i]);
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| import java.util.Scanner;
class Main{
public static void main(String[] args) throws Exception{
Scanner sc = new Scanner(System.in);
int N = sc.nextInt();
int V = sc.nextInt();
int[] v = new int[N];
int[] w = new int[N];
int[] s = new int[N];
for(int i=0; i<N; i++){
v[i] = sc.nextInt();
w[i] = sc.nextInt();
s[i] = sc.nextInt();
}
sc.close();
int[] dp = new int[V+1];
for(int i=0; i<N; i++){
if(s[i] == -1){
for(int j=V; j>=v[i]; j--){
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j-v[i]]+w[i]);
}
}else if(s[i]==0){
for(int j=v[i]; j<=V; j++){
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j-v[i]]+w[i]);
}
}else{
int num = Math.min(s[i], V/v[i]);
for(int k=1; num>0; k <<=1){
if(k>num) k=num;
num -= k;
for(int j=V; j>=k*v[i]; j--){
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j-k*v[i]]+k*w[i]);
}
}
}
}
System.out.println(dp[V]);
}
}
|
二维背包
物品的约束条件除了体积外，增加了重量一维，其余跟01背包一样。
有 N 件物品和一个容量是 V 的背包，背包能承受的最大重量是 M。
每件物品只能用一次。体积是 $v_i$，重量是 $m_i$，价值是 $w_i$。
求解将哪些物品装入背包，可使物品总体积不超过背包容量，总重量不超过背包可承受的最大重量，且价值总和最大。
输出最大价值。
输入格式
第一行两个整数，N，V,M，用空格隔开，分别表示物品件数、背包容积和背包可承受的最大重量。
接下来有 N 行，每行三个整数 $v_i,m_i,w_i$，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积、重量和价值。
输出格式
输出一个整数，表示最大价值。
数据范围
$0<N≤1000$
$0<V,M≤100$
$0<v_i,m_i≤100$
$0<w_i≤1000$
输入样例
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| 4 5 6
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2 4 4
3 4 5
4 5 6
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输出样例：
思路 + 代码
跟01背包类似，只不过两个状态。
状态转移方程：f[j][k]=max(f[j][k],f[j−w[i]][k-m[i]]+k*v[i])。
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| import java.util.Scanner;
class Main{
public static void main(String[] args) throws Exception{
Scanner sc = new Scanner(System.in);
int N = sc.nextInt();
int V = sc.nextInt();
int M = sc.nextInt();
int[] v = new int[N];
int[] m = new int[N];
int[] w = new int[N];
for(int i=0; i<N; i++){
v[i] = sc.nextInt();
m[i] = sc.nextInt();
w[i] = sc.nextInt();
}
sc.close();
int[][] dp = new int[V+1][M+1];
for(int i=0; i<N; i++){
for(int j=V; j>=v[i]; j--){
for(int k=M; k>=m[i]; k--){
dp[j][k] = Math.max(dp[j][k], dp[j-v[i]][k-m[i]]+w[i]);
}
}
}
System.out.println(dp[V][M]);
}
}
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分组背包
在01背包的基础上，对不同物品进行了分组，每组只能选取一件物品。
有 N 组物品和一个容量是 V 的背包。
每组物品有若干个，同一组内的物品最多只能选一个。
每件物品的体积是 $v_ij$，价值是 $w_ij$，其中 i 是组号，j 是组内编号。
求解将哪些物品装入背包，可使物品总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。
输入格式
第一行有两个整数 N，V，用空格隔开，分别表示物品组数和背包容量。
接下来有 N 组数据：
每组数据第一行有一个整数 $S_i$，表示第 i 个物品组的物品数量；
每组数据接下来有 $S_i$ 行，每行有两个整数 $v_ij,w_ij$，用空格隔开，分别表示第 i 个物品组的第 j 个物品的体积和价值；
输出格式
输出一个整数，表示最大价值。
数据范围
$0<N,V≤100$
$0<S_i≤100$
$0<v_ij,w_ij≤100$
输入样例
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| 3 5
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输出样例：
思路 + 代码
状态转移方程：
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4
| for i in (每一种分组):
for j in range(V,0,-1):
for k in 分组[i]:
dp[j] = max(dp[j], dp[j-分组[i][0]]+分组[i][1])
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| import java.util.Scanner;
import java.util.HashMap;
import java.util.ArrayList;
class Main{
public static void main(String[] args){
Scanner sc = new Scanner(System.in);
int K = sc.nextInt();
int V = sc.nextInt();
int N = 0;
HashMap<Integer, ArrayList<int[]>> map = new HashMap<>();
for(int i=0; i<K; i++){
int s = sc.nextInt();
N += s;
ArrayList<int[]> arr = new ArrayList<>();
for(int j=0; j<s;j++){
int[] tmp = new int[2];
tmp[0] = sc.nextInt();
tmp[1] = sc.nextInt();
arr.add(tmp);
map.put(i, arr);
}
}
sc.close();
int[] dp = new int[V+1];
for(int i=0; i<K; i++){
ArrayList<int[]> arr = map.get(i);
for(int j=V; j>=0; j--){
for(int k=0; k<arr.size();k++){
if(j>=arr.get(k)[0])
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j-arr.get(k)[0]]+arr.get(k)[1]);
}
}
}
System.out.println(dp[V]);
}
}
|
wechat
alipay
